۲- شکل روبه‌رو مثلثی متساوی‌الاضلاع است. یک ورق کاغذ پوستی روی آن قرار دهید و مراحل فعالیت (۱) را تکرار کنید. آیا تصویر، روی شکل منطبق می‌شود؟ چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟
**خیر**، پس از چرخش $۱۸۰$ درجه‌ای، تصویر مثلث متساوی‌الاضلاع بر روی شکل اولیه منطبق **نمی‌شود**.
**نتیجه‌گیری:**
نتیجه می‌گیریم که مثلث متساوی‌الاضلاع **تقارن مرکزی ندارد** (یا به عبارتی مرکز تقارن ندارد). یک شکل زمانی مرکز تقارن دارد که با چرخش $۱۸۰$ درجه‌ای حول یک نقطه (مرکز تقارن) بر روی خودش منطبق شود. مثلث متساوی‌الاضلاع فقط با دوران‌های $۱۲۰$ درجه و $۲۴۰$ درجه بر خودش منطبق می‌شود.
۳- در کدام یک از چندضلعی‌های منتظم زیر، نقطۀ مشخص شده مرکز تقارن است؟
به نظر شما نُه‌ضلعی منتظم مرکز تقارن دارد؟ ده‌ضلعی منتظم چطور؟ از این فعالیت چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟
**بخش اول: بررسی چندضلعی‌ها**
یک نقطه زمانی مرکز تقارن یک شکل است که دوران $۱۸۰$ درجه‌ای حول آن نقطه، شکل را بر خودش منطبق کند.
- پنج‌ضلعی منتظم (۵ ضلع): مرکز تقارن **ندارد**.
- **شش‌ضلعی منتظم (۶ ضلع): مرکز تقارن دارد.**
- هفت‌ضلعی منتظم (۷ ضلع): مرکز تقارن **ندارد**.
- **هشت‌ضلعی منتظم (۸ ضلع): مرکز تقارن دارد.**
**بخش دوم: بررسی نُه‌ضلعی و ده‌ضلعی**
- نُه‌ضلعی منتظم (۹ ضلع): مرکز تقارن **ندارد**.
- ده‌ضلعی منتظم (۱۰ ضلع): مرکز تقارن **دارد**.
**بخش سوم: نتیجه‌گیری کلی**
از این فعالیت نتیجه می‌گیریم که:
**چندضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع زوج، مرکز تقارن دارند؛ اما چندضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع فرد، مرکز تقارن ندارند.**
۴- یکی از راه‌های تشخیص اینکه نقطۀ O در مثلث متساوی‌الاضلاع مرکز تقارن نیست، این است که می‌توان روی شکل، نقطه‌ای پیدا کرد که قرینۀ آن نسبت به نقطۀ O روی خود شکل قرار نگرفته باشد. مانند نمونه، نشان دهید که نقطۀ O در دو شکل دیگر هم، مرکز تقارن نیست.
برای نشان دادن اینکه نقطه $O$ مرکز تقارن نیست، کافی است یک نقطه روی شکل پیدا کنیم که قرینه آن نسبت به $O$ روی شکل قرار نگیرد.
- **برای پنج‌ضلعی منتظم:**
اگر یکی از رأس‌های پنج‌ضلعی را انتخاب کنیم و آن را نسبت به مرکز $O$ قرینه کنیم، نقطه حاصل در میانه ضلع مقابل آن رأس قرار نمی‌گیرد، بلکه خارج از محیط پنج‌ضلعی خواهد بود. از آنجایی که قرینه حداقل یک نقطه از شکل روی خود شکل قرار ندارد، پس نقطه $O$ مرکز تقارن آن نیست.
- **برای هفت‌ضلعی منتظم:**
در این شکل نیز مانند پنج‌ضلعی، اگر قرینه هر کدام از رأس‌ها را نسبت به مرکز $O$ پیدا کنیم، نقطه جدید روی شکل قرار نخواهد گرفت. بنابراین، نقطه $O$ مرکز تقارن هفت‌ضلعی منتظم نیز نمی‌باشد. این موضوع نتیجه کلی در مورد چندضلعی‌های منتظم فردضلعی را تأیید می‌کند.
۵- شکل‌های مقابل چگونگی پیدا کردن دوران‌یافتۀ نقطۀ A و B حول مرکز O به اندازۀ ۹۰ درجه و ۳۵ درجه در جهت عقربه‌های ساعت را نشان می‌دهد.
کدام یک از شکل‌های فعالیت (۳) با دوران ۹۰ درجه حول نقطۀ مشخص شده در جهت عقربه‌های ساعت روی خودش می‌افتد؟
شکل‌های فعالیت (۳) عبارتند از پنج‌ضلعی، شش‌ضلعی، هفت‌ضلعی و هشت‌ضلعی منتظم. یک چندضلعی منتظم $n$-ضلعی، دارای تقارن چرخشی به اندازه زاویه $ \frac{۳۶۰}{n} $ درجه و مضارب آن است. ما به دنبال شکلی هستیم که برای آن، $۹۰$ درجه مضربی از $ \frac{۳۶۰}{n} $ باشد.
- **پنج‌ضلعی ($n=۵$):** زاویه تقارن چرخشی $ \frac{۳۶۰}{۵} = ۷۲^\circ $ است. $۹۰$ مضرب ۷۲ نیست.
- **شش‌ضلعی ($n=۶$):** زاویه تقارن چرخشی $ \frac{۳۶۰}{۶} = ۶۰^\circ $ است. $۹۰$ مضرب ۶۰ نیست.
- **هفت‌ضلعی ($n=۷$):** زاویه تقارن چرخشی $ \frac{۳۶۰}{۷} \approx ۵۱.۴^\circ $ است. $۹۰$ مضرب آن نیست.
- **هشت‌ضلعی ($n=۸$):** زاویه تقارن چرخشی $ \frac{۳۶۰}{۸} = ۴۵^\circ $ است. از آنجایی که $ ۹۰ = ۲ \times ۴۵ $، زاویه $۹۰$ درجه مضربی از زاویه تقارن چرخشی آن است.
بنابراین، **هشت‌ضلعی منتظم** با دوران $۹۰$ درجه حول مرکزش بر روی خودش منطبق می‌شود.
